高中数学：常见数列的前n项和公式以及七种方法和技巧

我们不要关心求数列n项和的问题会不会在高考题或有关考试题中出现，当然出现的机会确是很高的。关键的是通过学习和探讨求数列前n项和的方法去领悟学习和思考的方法。几种求和的方法把数学变形和分析、归纳总结、化繁为简、化难为易等思想融合在一起，使思维得到一次系统的训练和提高。头脑的开化和思维的提升才是学习的主要目的。

求数列前n项的和，通常有下列七种方法和技巧。

一、利用等差数列和等比数列的求和公式例1、求数列

例2、求数列5, 55，555，5555，…，

，……的前项和。

解：∵

∴

二、用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式的方法是倒序相加法。这个方法可以类推到一般，只要前n项具有与两端等距离项的和相等的数列这种特征都可用这种方法求和。例3、已知

是等差数列，求和

。

解：∵ ①

即

②

由①+②，得：

∵

∴

由等差数列的性质，易得：

故

于是

三、利用错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，主要应用于等比数列与等差数列相乘的形式。形如

，其中

为等差数列，

为等比数列，公比为q；列出

，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即

；然后错一位，两式相减即可。例4、求数列

的前n求和(x≠0，x≠1)。解：设

①则

②

由①-②，得：

于是

四、用化差相减法适用于分式形式的通项公式，基本原理是把一项拆成两个或多个的差的形式，即

，然后累加时中间的许多项可以抵消。裂项凑错位相加特征，注意前后式子相等，如果不相等就要乘以一个系数。

常用公式：

，

，

，

（a≠0），

例5、求数列

的前n求和。解：

例6、求数列

。解：∵

∴

基本原理点拨：代数式变形凑相消特征：

，由此可联想求更高次方幂的n项和。如：

至此，一般规律就出现了，通过变形整理便可求出

的n项的和，以此类推，求n次方幂的问题就能彻底解决。从而

五、利用组合数求和公式法利用这个组合数公式，求某些特殊数列的前n和颇为方便。因为

，则

。例7、求数列

解：∵

，∴

例8、求数列

。解：∵

。

∴

，

六、用数学归纳法例9、求数列

的前n项和。解：

从而 假设

，则

于是 由数学归纳法，可知

例10、是否存在常数a，b，c，使得等式：

对一切自然数n都成立？并证明你的结论。

解：假设存在a，b，c ，使题中等式成立，则

当n=1时，有

，当n=2时，有

，当n=3时，有

。从而有

解之，得 a=3， b=11, c=10（提示： 此处用待定系数法求a, b , c值，可见待定系数法的重要）

于是 当n=1, 2, 3时下列等式成立

记

设 n=k时，

，则

于是 当n=k+1时等式也成立。

故 当a=3, b=11, c=10时，题设的等式对一切的自然数n都成立。

七、利用自然数方幂和公式此法是通项式展开将同次方幂合并以便用常用的自然数方幂和公式求和常用的自然数方幂有：

，

，

例11、求和。 解：∵

∴

总结：为了使利用自然数方幂公式更加熟练需记住常用的自然数方幂。一般要先对通项式展开进行同次方幂合并。